std::assoc_legendre, std::assoc_legendref, std::assoc_legendrel

double      assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, double x );

double      assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, float x );
double      assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, long double x );
float       assoc_legendref( unsigned int n, unsigned int m, float x );

long double assoc_legendrel( unsigned int n, unsigned int m, long double x );
 (1)
double      assoc_legendre( unsigned int n, unsigned int m, IntegralType x );
 (2)
1) 计算实参 x 的 n 度 m 阶连带勒让德多项式。
2) 一组接受任何整数类型实参的重载或函数模板。等价于将实参转型为 double 后的 (1)。

Template:cpp/experimental/special math/macro note

参数

n - 多项式的度数，无符号整数类型的值
m - 多项式的阶数，无符号整数类型的值
x - 实参，浮点或整数类型的值

返回值

如果未发生错误，则返回 x 的连带勒让德多项式的值，即 (1 - x2
)m/2
dm
dxm
P
n(x)（其中 P
n(x) 为非连带勒让德多项式，std::legendre(n, x)）。

错误处理

根据 math_errhandling 的规定进行错误报告。

  • 如果实参为 NaN，则返回 NaN 但不报告定义域错误。
  • 如果 |x| > 1，则发生定义域错误。
  • 如果 n 大于或等于 128，则其行为由实现定义。

注解

不支持 TR 29124 但支持 TR 19768 的实现，在头文件 tr1/cmath 和命名空间 std::tr1 中提供此函 此函数的实现也在 boost.math 中可用。

前几个连带勒让德多项式：

  • assoc_legendre(0, 0, x) = 1。
  • assoc_legendre(1, 0, x) = x。
  • assoc_legendre(1, 1, x) = -(1 - x2
    )1/2
    。
  • assoc_legendre(2, 0, x) =
    1
    2
    (3x2
     - 1)。
  • assoc_legendre(2, 1, x) = -3x(1 - x2
    )1/2
    。
  • assoc_legendre(2, 2, x) = 3(1 - x2
    )    。

示例

(works as shown with gcc 6.0)

#define __STDCPP_WANT_MATH_SPEC_FUNCS__ 1
#include <cmath>
#include <iostream>
 
double P20(double x)
{
    return 0.5 * (3 * x * x - 1);
}
 
double P21(double x)
{
    return -3.0 * x * std::sqrt(1 - x * x);
}
 
double P22(double x)
{
    return 3 * (1 - x * x);
}
 
int main()
{
    // spot-checks
    std::cout << std::assoc_legendre(2, 0, 0.5) << '=' << P20(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 1, 0.5) << '=' << P21(0.5) << '\n'
              << std::assoc_legendre(2, 2, 0.5) << '=' << P22(0.5) << '\n';
}

输出：

-0.125=-0.125
-1.29904=-1.29904
2.25=2.25

参阅

 勒让德多项式
(函数)

外部链接

Weisstein, Eric W. "Associated Legendre Polynomial." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.